Ще одне розв'язання тієї ж геометричної задачі

http://halinadudar-teacher.blogspot.com/2014/03/blog-post_27.html
 Сьогодні  пропоную читачам ще одне розв'язання задач із посту "Алгебраїчне розв'язання однієї геометричної задачі".
Таким способом могли її розв'язати восьмикласники, оскільки вони вже вивчили формули площ трикутника.

 Ось таке красиве розв'язання. А ще корисно запам'ятати, що якщо у будь-якому опуклому чотирикутнику провести діагоналі, то добутки площ трикутників, основами яких є протилежні сторони чотирикутника, рівні між собою. Тобто в даній задачі маємо пари трикутників ВОС  і АОD та друга пара трикутники АОВ і СОD. Обидві пари цих трикутників мають спільну вершину О.
Таке гарне розв'язання запропонував учень одинадцятого класу Української гімназії Андрій.

Алгебраїчне розв'язання однієї геометричної задачки

Задачка проста. І щоб  розв'язати її,  достатньо знати властивості площ, а саме те,  що площа фігури дорівнює сумі площ фігур, на які розбито дану фігуру.  А це означає, що з цією задачею цілком може справитись і шестикласник.
 Отож , умова.
 Довільний чотирикутник АВСD розділено діагоналями на трикутники.  Відомі площі трикутників АВС (3 кв.см),  ВСD (5 кв.см) та АОD (8 кв. см).Треба знайти площу чотирикутника. На світлині - умова та розв'язання.

Мені здається, задачка заслуговує на увагу. Інші значення змінних не задовольнятимуть одночасно всі три рівняння.  Отож, задача має один розв'язок.

Задачі теж бувають красиві. Якщо у когось є інші думки щодо розв'язання, поділіться.

Примітка. Якщо ви прочитали пост швидше, то, можливо, помітили невеличку помилку (описку). Виправлено сьогодні 31.03.2014.

Розв'язання "двох красивих геометричних задач" №151 та №152

Розв'язання задач, вміщених у статті "Дві красиві геометричні задачі"
http://halinadudar-teacher.blogspot.com/2014/01/blog-post_20.html

Розв'язання задачі №151 на першій фотографії.

 Нагадаю умову. Потрібно з допомогою лише лінійки без поділок провести перпендикулярну пряму через точку А поза прямою ХХ", яка проходить через цетр кола. Тобто дано коло (без  вказаного центра, пряма ХХ" і точка А поза прямою).  Особливість задачі в тому, що центр кола не заданий!  На жаль , з цією задачею 8-б не справився.

 

Задача №152.

Подаю розв'язання. 

З точки М , взятої на колі., описному навколо трикутника АВС, опущені перпендикуляри на його сторони: МQ, MR, МР. Треба довести, що точки  P, Q, R лежать на одній прямій. З того, що чотирикутник АМВС вписаний в коло випливає, що кути МВR і МАР рівні. Розглянувши прямокутні трикутники МBR  і MPA , робимо висновок, що рівні кути АМР та ВМR. Але рівними є пари кутів АМР та АQР, ВМR і ВQR. оскільки навколо чотирикутників  MQPA  і  MRBQ можна описати кола. Тому  рівними будуть кути AQP  і BQR. Остання рівність і доводить, що точки P, Q, R лежать на одній прямій.

 Цю задачу розв'язав Діма Швець. Молодець!,

Дві красиві геометричні задачі

Сьогодні хочу запропонувати вам розв'язати дві задачки. Думаю, погодитесь зі мною, що учні не дуже полюбляють задачі на побудову , а на  доведення і поготів. Але , повірте, ці задачі вартують уваги. Перша з них саме на побудову, але лише з допомогою лінійки (в цьому її родзинка). Друга - на доведення.
Розв'язували їх давно, ще  на початку 20-го століття. Ви, напевне, здогадались, що  нове завдання -  з  моєї улюбленої колекційної книги-раритету 1903 року, про яку я вам уже писала.

 Отож, задачі для учнів 8-9 класів

№151

Дано коло і пряма хх", яка проходить через центр кола (див. фото). Опустити з довільно взятої точки А, що не належить колу, перпендикуляр на пряму хх", користуючись лише лінійкою.

№152

Довести, що основи перпендикулярів, опущених з будь-якої точки кола, описаного навколо трикутника, на сторони цього трикутника, лежать на одній прямій.

 Успіхів!
 Розв'язання - згодом!