Задача, над якою ламав голову сам Ейнштейн

Сьогодні пропоную вам відому задачу, над якою, як подейкують, ламав голову сам Альберт Ейнштейн.

https://www.youtube.com/watch?v=IchW1hDe6gQ

Ще три цікаві геометричні задачки від Трігга

Пропоную 8-класникам ( і не тільки) помізкувати над новими геометричними  задачками.

Задача 1.103
Доведіть, що перпендикуляр, проведений до середини відрізка, який з'єднує основи двох висот трикутника, ділить третю сторону цього трикутника на дві рівні частини.

Задача 1.138
Покажіть, що будь-який заданий трикутник можна прямими розрізами розділити на 4 частини, з яких потім можна скласти 2 трикутники, подібні даному.


 Задача 1.198
Покажіть, що в довільному чотирикутнику середина відрізка, який з'єднує середини діагоналей, співпадає з точкою перетину відрізків, які з'єднують середини протилежних сторін даного чотирикутника.

Через тиждень зустрінемось! Успіхів!

Розв'язання "двох красивих геометричних задач" №151 та №152

Розв'язання задач, вміщених у статті "Дві красиві геометричні задачі"
http://halinadudar-teacher.blogspot.com/2014/01/blog-post_20.html

Розв'язання задачі №151 на першій фотографії.

 Нагадаю умову. Потрібно з допомогою лише лінійки без поділок провести перпендикулярну пряму через точку А поза прямою ХХ", яка проходить через цетр кола. Тобто дано коло (без  вказаного центра, пряма ХХ" і точка А поза прямою).  Особливість задачі в тому, що центр кола не заданий!  На жаль , з цією задачею 8-б не справився.

 

Задача №152.

Подаю розв'язання. 

З точки М , взятої на колі., описному навколо трикутника АВС, опущені перпендикуляри на його сторони: МQ, MR, МР. Треба довести, що точки  P, Q, R лежать на одній прямій. З того, що чотирикутник АМВС вписаний в коло випливає, що кути МВR і МАР рівні. Розглянувши прямокутні трикутники МBR  і MPA , робимо висновок, що рівні кути АМР та ВМR. Але рівними є пари кутів АМР та АQР, ВМR і ВQR. оскільки навколо чотирикутників  MQPA  і  MRBQ можна описати кола. Тому  рівними будуть кути AQP  і BQR. Остання рівність і доводить, що точки P, Q, R лежать на одній прямій.

 Цю задачу розв'язав Діма Швець. Молодець!,

Дві красиві геометричні задачі

Сьогодні хочу запропонувати вам розв'язати дві задачки. Думаю, погодитесь зі мною, що учні не дуже полюбляють задачі на побудову , а на  доведення і поготів. Але , повірте, ці задачі вартують уваги. Перша з них саме на побудову, але лише з допомогою лінійки (в цьому її родзинка). Друга - на доведення.
Розв'язували їх давно, ще  на початку 20-го століття. Ви, напевне, здогадались, що  нове завдання -  з  моєї улюбленої колекційної книги-раритету 1903 року, про яку я вам уже писала.

 Отож, задачі для учнів 8-9 класів

№151

Дано коло і пряма хх", яка проходить через центр кола (див. фото). Опустити з довільно взятої точки А, що не належить колу, перпендикуляр на пряму хх", користуючись лише лінійкою.

№152

Довести, що основи перпендикулярів, опущених з будь-якої точки кола, описаного навколо трикутника, на сторони цього трикутника, лежать на одній прямій.

 Успіхів!
 Розв'язання - згодом!

День народження кросворду

21 грудня вважають Днем народження кросворду. Чому саме цей день? Рівно 100 років тому у нью-йоркській газеті New York World журналіст Артур Уінн опублікував перший кросворд. Що ж таке кросворд. У Шкільному тлумачному словнику української мови читаємо: "Кросворд -це гра-задача, коли необхідно вписати літери в перехресні рядки клітинок накресленої фігури"".
Кросворд Уінна мав 32 слова і складений був у формі ромба.
У 1925 році з'явився перший кросворд російською мовою. Його склав російський письменник В. В. Набоков. Цей кросворд був надрукований у додатку  "Наш свет" до газети "Руль" у 1925 році в Берліні. Вважається, що перший кросворд у СРСР з'явився у 1929 році у популярному в ті часи журналі "Огонек".
Різні види кросвордів

Цікавий матеріал про історію кросвордів та їх види можна прочитати тут:
http://tsikave.ostriv.in.ua/publication/code-5C60849A71DC3/list-22AE31EDF27
 У наш час існують програми, за якими кожний охочий може самостійно скласти кросворд. Зокрема така програма є тут:
http://cross.highcat.org/ru_RU/
 Скористайтесь цією програмою для створення своїх цікавих кросвордів, які можуть стати частиною вашого проекту із будь-якого предмету, і , звісно, з математики.

Особливе місце займають математичні кросворди - числові кросснамбери. Якщо врахувати що англійською мовою namber означає "число", то стає зрозумілим, що кроснамбер - це кросворд, у якому замість слів записуються числа. Зокрема, це квадрати, в яких по вертикалях і по горизонталях отримується певний ряд чисел. У кожну клітинку записують обну цифру знайденого числа. Кому і нуль цілих (якщо вони є в числі) опускають. Якщо знайдене число наближене, то його значення записують стількома значущими цифрами, скільки відведено для нього клітинок.
 Пропоную розв'язати два таких кроснамбери. Вони взяті із ще одного математичного раритету для школярів, які є у моїй колекції, а саме із "Математичної хрестоматії" (Київ. Видавництво "Радянська школа", 1968 рік)

 Кроснамбер 1

Кроснамбер 2

 Відповіді згодом.

 Розгадування кросвордів та розв'язання кроснамберів приносить неабияку користь. По-перше, розвиває інтелектульно, по-друге, допомагає удосконалити навички обчислень, превірити свої знання, зокрема з математики, розширити кругозір. Та й, зрештою, це цікаве проведення дозвілля.

Відповіді до задач із статті "Унікальна книга і розминка для розуму"

Задача №100
Знайти ціле число, котре у 7 раз більше за цифру його одиниць.
Відповідь. Це число 35.

 Задача 105
Знайти трицифрове число, знаючи, що воно ділиться націло на 5, а частка складається із двох останніх цифр цього числа.
Відповідь.  Таких чисел є чотири: 125, 250, 295, 375.
Вказівка. По-перше. кожне із шуканих чисел має закінчуватись нулем або п'ятіркою (за ознакою подільності на 5). Тобто ми можемо розглянути числа XY0   або XY5. Тоді кожне з них можна подати у вигляді добутку: 5*Y0= XY0  або 5*Y5=XY5. Розглянемо один з випадків.
 Записавши числа у вигляді розкладу на розрядні доданки, матимемо:
5(10Y+0)=100X+10Y ;
50Y=100X+10Y;
40Y=100X;
2Y=5X; а це можливо лише, коли Y=5, X=2.
Отже, одне з чисел:250. Аналогічно знаходимо інші числа.

Задача 116
Знайти два числа, кожне з яких дорівнює квадрату іншого.
Відповідь. Задача має два дійсних розв'язки 1) 0 і 1; 2) 1 і 1.

 Задача 46
Кілька людей обмінюються своїми фотографіями. Із приготовлених 40 дюжин 100 фотографій виявились зайвими. Скільки було людей?
Відповідь. 20 людей

 Вказівка.  Дюжина дорівнює числу12.

Дюжина — міра поштучного рахунку однорідних предметів, що дорівнює 12. Широко застосовувалася до введення метричної системи і застосовується досі при комплектації, наприклад, сервізів, вилок, великих гарнітурів меблів, які випускаються майже завжди на 12 або 6 (півдюжини) персон. 12 дюжин становлять грос, 5 дюжин (60 штук) — копа. Пиво упаковується по 6 (півдюжини), 12 або 24 (2 дюжини) пляшок (банок). У США прийнято купувати яйця дюжинами. (Вікіпедія)

 Задача 138
 Дані на площині точки з'єднані між собою як на малюнку. Визначити суму кутів з вершинами у даних точках.
Відповідь. 180 градусів.

Унікальна книга і розминка для розуму

Серед моїх численних колекцій є одна, котра має безпосереднє відношення до математики. до викладання математики. Це - книгозбірня старих підручників, збірників задач. Сьогодні я хочу познайомити своїх читачів із унікальною книгою, яка потрапила  у мою колекцію давно і дуже банальним способом - я знайшла її у макулатурі. Цей раритет (чи антикваріат - їй набагато більше ніж 50 років) -
"Задачи и софизмы для любителей математики (в пределах курса средних учебных заведений)".
  Книга видана у Москві в Університетській типографії на Страстному бульварі у 1903 році.

 На наступній сторінці є напис : "Дозволено цензурою. Москва, 8 февраля 1903 г."

Збірник справді унікальний. У ньому зібрано 190 найрізноманітніших задач та софізмів ( як мало уваги ми надаємо цьому виду задач. А якщо бути точними, то, гадаю, про них майже не згадуємо. Хіба що на разових позакласних заходах у рамках тижнів математики) для любителів математики. як пишуть упорядники. До 178 з них подано відповіді, або ж вказівки-підказки. До досить складних задач вміщено розв'язання. При складанні збірника автори користувались різноманітними зарубіжними . російськими книгами. Ось фото частини переліку:

 Я дозволила собі перекласти передмову до видання, адже написана вона російською.

Адресована передмова вчителям, учням та й батькам, звісно. 

"Укладачам пропонованого збірника задач постійно доводилось в їхній педагогічній практиці помічати той особливий інтерес, з яким учні середніх учбових закладів ставляться  до різного роду математичних задач і запитань, які відрізняються від задач, котрі заповнюютьз зазвичай уроки математики. Цей інтерес зі сторони учнів обумовлюється або несподіваною простотою чи витонченістю її розв'язання, чи  непередбачуваним результатом або ж, нарешті складністю розв'язання. Такого роду задачі, відомі на мові учнів під назвою цікавих задач,безумовно сприяють розвитку в учнів інтересу до математики, дають широкий простір для самодіяльності і розвивають логічну сторону мислення.

 У закордонній навчально-методичній літературі немало видань, які представляють собою більш-менш повне зібрання такого роду цікавих задач.

Пропонований збірник є першою у Росії спробою зібрати в одну книжку розкидані у великій кількості різних задачників, підручників і журналів задачі цікаві або ж непрості. Для серйозних любителів математики чи спеціалістів ця книжка не повинна дати багато свіжого, вперше викладеного у друку матеріалу, оскільки праця укладачів була переважно компілятивною і редакційною; тому  пропонована збірка задач призначена, по-перше, для  тих учнів середніх навчальних закладів, котрі цілком встигають і цікавляться математикою, для тих учнів, які , оволодівши пройденим у класі, могли б заповнити своє дозвілля математичними розвагами або розв'язанням деяких цікавих задач. З другого боку книга призначена як довідник на допомогу викладачу для того, щоб оживити урок цікавою задачею."

Усі задачі збірника розділені на чотири розділи . У першому-арифметичні, загадки, жарти, цілком доступні для учнів молодшого віку.

У другому розділі зібрані задачі на різні теми елементарної математики (окрім арифметики). Задачі третього розділу можуть зацікавити учнів, котрих захопдлює не лише замисел задачі, але  й котрі отримують задоволення у особливостях розв'язання, якаеполягає у штучності або деякій складності.

У четвертому розділі зібрані задачі , так би мовити, історичні, які зустрічаються у творах Магніцького, Войтаховського. Вони цікаві своєю архаїчністю. Задачі цього розділу передруковані із збереженням орфограм джерела ( 1703, 1820, 1886 роки видань).

П'ятий розділ - софізми,серед яких -  і  геометричні.

А наостанок ( і для розминки)  пропоную розв'язати кілька задач із збірника, які під силу і учням 6-7 класів:

№100

Знайти ціле число, котре у 7 раз більше за цифру його одиниць.

№105

Знайти трицифрове число, знаючи, що воно ділиться націло на 5, а частка складається із двох останніх цифр цього числа.

№116

Знайти таких два числа, з яких кожне дорівнює квадрату другого.

№46.

Кілька людей обмінюються своїми фотографіями. Із приготовлених 40 дюжин 100 фотокарточок виявились зайвими. Скільки всього було людей?

І ще одна задача - геометрична для восьмикласників

 №138

Дані на площині точки з'єднані між собою як на малюнку.  Визначити суму кутів з вершинами у даних точках.

 Бажаю успіхів! А далі буде!

 Відповіді надсилайте до 10 листопада

  у коментарі або на електронну пошту 

Galdudar@gmail. com