8 клас. алгебра. Розв'язуємо задачі з допомогою рівнянь, що зводяться до квадратних

  Продовжуємо розв'язувати задачі з допомогою рівнянь. підручник Алгебра  8 клас. Мерзляк. 

Розв'язання

Нехай першому маляру потрібно для виконання всієї роботи х годин, тоді другому  на 5 годин менше, тобто х-5 год. Якщо вважати об'єм роботи, яку потрібно виконати за одиницю, то продуктивність роботи першого маляра буде 1/х, а другого  1/(х-5).

 Нагадаю, що продуктивність праці -це робота, виконана за одиницю часу,у нашому випадку - за 1 годину. Перший маляр працював 3 год., тому за цей час він виконав обсяг роботи, що дорівнює 3* 1/х. Потім його змінив другий маляр, який за 2 години виконав роботу 2* 1/(х-5). Разом вони виконали лише 40 % всієї роботи, тобто 40/100=2/5. Складемо рівняння:

3* 1/х+ 2 * 1/(х-5)=2/5.

Маємо

3/х + 2/(х-5)=2/5. Помножимо ліву і праву частину рівняння на спільний знаменник 5х(х-5), щоб позбутися знаменника. Враховуємо. що х не дорівнює 0 і 5.  Отримаємо:

15(х-5)+10х=2х(х-5). Розв'язавши рівняння (зробіть це самостійно!), маємо х=15 і х=2,5 год. Корінь рівняння 2, 5 не задовільняє умову задачі, оскільки значення виразу х-5 при х= 2, 5 набуває від'ємного значення (а час - величина додатна). Тому перший робітник виконує роботу за 15 год., а другий за 

15-5=10 год. 

Відповідь. 15 год, 10 год. 

Розв'язання

Нехай порожній басейн можна наповнити водою через першу трубу за х годин. Тоді за 1 год. наповнюється 1/х частина басейну. Час зливу води з басейну на 1 год більший, тобто х+1 год. Отже за 1 годину з басейну виливається 1/(х+1). Якщо відкрити обидві труби, то за 1 годину у басейні буде 1/30 всього басейну або 1/х- 1/(х+1).Отже, рівняння має вигляд:

 1/х+ 1/(х+1)=1/30. Спільний знаменник, відмінний від 0 дорівнює 30х(х+1). х не дорівнює -1 і 0. Домножимо ліву і праву частину на спільний знаменник. Маємо:

30х+30-30х=х(х+1). Розв'язавши рівняння,знаходимо два корені х=-6 і х=5. Зрозуміло, що перший корінь не задовільняє рівняння. Тому перша труба наповнює басейн за 5 годин.

 Відповідь. за 5 годин.

Розв'язання

Нехай х км/год. - запланована швидкість. тоді запланований на поїздку час складає 400/х год.

2 години автобус їхав із запланованою швидкістю і проїхав 2х км, після чого зупинився на 20 хв. = 20/60 год=1/3 год. далі йому залишилося проїхати 400-2х км. Автобус збільшив швидкість на 10 км/год. і вона стала х+10. Тому час . затрачений на цю частину шляху складає  (400-2х)/ (х+10) год. 

Підрахуємо час, витрачений на поїздку :

2+ 1/3+ (400-2х)/(х+10). Оскільки автобус приїхав вчасно, то цей час дорівнює запланованому, тобто 400/х. Складаємо рівняння:

2+ 1/3+ (400-2х)/(х+10)=400/х;

7/3+(400-2х)/(х+10)=400/х;

 Спільний знаменник

3х(х+10).

Домножимо ліву і праву частину на спільний знаменник і отримаємо рівняння:

7х(х+10)+3х(400-2х)=400*3(х+10).

 отримане рівняння розв'яжіть самостійно, проаналізувавши одержані корені, зробіть висновок.

Домашнє завдання

Розв'язати задачі 801 і 806 з поясненням.