Розв'язання задач шкільної олімпіади для семикласників

Задача 1
 Скільки разів на добу стрілки годинника перпендикулярні?
Відповідь :44 рази.

Задача 2
Знайти двоцифрове число. яке дорівнює потроєному добутку його цифр.
Відповідь . Це числа 15 і 24.
 Розв'язання
Нехай х-цифра десятків, а у - цифра одиниць. Тоді число за умовою 10х+у=3ху. Зрозуміло, що шукане число буде кратним 3.
у=10х : (3х-1). Розв'язуючи рівняння, знаходимо , що при х=1, у=5. Тому перше з чисел 15. При х=2 матимемо у=4. Отже, друге число 24.

Задача 3
Довести що різниця 43-го степеня числа 43 та 17-го степеня числа 17 ділиться на 10.
Розв'язання

Задача 4
 Лікарю потрібно оглянути трьох хворих із трьома різними інфекційними хворобами. У нього є лише дві пари гумових стерильних рукавичок. Яким чином він може оглянути хворих?

Розв'язання
Задача, звісно, не має математичного розв'язання. оскільки є задачею на кмітливість. Отож, лікар огляне двох хворих, використавши дві пари рукавиць. А потім, знявши першу пару, виверне її на другий бік і одягне. А тоді зверху вдягне другу пару рукавиць, також вивернуту навиворіт. Таким чином, на руках лікаря буде пара подвійних рукавичок, між якими і буде "сидіти" інфекція.

Задача 5
 Батько у три рази старший за сина, а разом їм 30 років. Через скільки років батько стане удвічі старший за сина?
Відповідь. Через 21 рік.
 Розв'язання
Якщо х - вік сина, то 9х- вік батька. Тоді,  розв'язавши рівняння х+9х= 30, маємо, що синові 3 роки, батькові 27. Нехай через у років батько стане старший удвічі від сина, тоді матимемо рівняння:
2(у+3)=27+у. Звідки знаходимо, що у=21.

Задача 6
Розв'язати рівняння:
| x-5| +|x+1|=20
Відповідь. х=12, х=-8.
Вказівка
1.Скористатись означенням модуля.
2. Розглянути випадки, коли вирази, записані в дужках модуля додатні і від'ємні. Розв'язати відповідні рівняння.

 Хочу зауважити, що такі задачки пропонувались у 50-х роках минулого століття на Київських міських математичних олімпіадах. Якщо когось зацікавить. то знайдіть  таку книжечку. У ній  дуже цікаві задачки. А починається історія Київських олімпіад з 1935 року!
 А ще зверніть увагу, що серед авторів цього унікального збірника - М.Й. Ядренко (1932-2004). Видатний український математик, педагог, засновник олімпіадного і турнірного руху юних математиків України, член-кореспондент НАН України,заслужений діяч науки і техніки України, лауреат державної премії України, лауреат премії НАН України ім.М. М. Крилова, доктор фізико-математичних наук Київського національного університету імені Тараса Шевченка У жовтні 2010 року Всеукраїнському турніру юних математиків присвоєно ім'я М. Й Ядренка.

 А тепер задачі, які пропонувались 5-класникам. Зазвичай вони не беруть участь у міській олімпіаді, але шкільну ми завжди проводимо. Отож, задачі!

 Задача 1
У хлопчика стільки сестер, скільки братів, а у його сестри братів у три рази більше. Скільки дітей у сім'ї?

Задача 2
Бабуся розводить гусей і кроликів. Скільки гусей і скільки кроликів має бабуся, якщо в усіх них разом 25 голів і 54 лапки?

Задача 3
Із 100 іноземних туристів 83 знають французьку мову і 75 німецьку, причому кожен із туристів знає хоча б одну мову. Скільки туристів знають дві мови?

Задача 4
У двох хлопчиків разом 300 марок. Якщо один з них віддасть другому 30 марок, то в обох у них стане порівну. Скільки марок було спочатку у кожного хлопчика?

Задача 5
 Марійка подивилась на малюнок і сказала: "Тут зображено сім прямокутників:один великий і шість малих".
Скільки прямокутників на цьому малюнку насправді?