Проект
на тему:
Алгебра в музиці
Найяскравішим прикладом поєднання математики і музики є
дослідження відомого математика Піфагора. Він першим здогадався про існування
природного звукоряду і, щоб довести це, сконструював музичний
інструмент-монохорд. Дослідження Піфагора лягли в основу науки акустики.
Також великим внеском у музику є дослідження Андреаса Веркмейстра.
Завдяки його математичним розрахункам, які стали революційними, з’явилася
клавіатура фортепіано.
Андреас Веркмейстр
Дослідженню музики присвячували свої роботи багато відомих
математиків: Рене Декарт, Готфрід Лейбніц, Християн Гольдбах, Жан Д'Аламбер,
Леонард Ейлер, Данило Бернуллі. Перша праця Рене Декарта - "Compendium
Musicae" ("Трактат про музику"), перша велика робота Леонарда
Ейлера - "Дисертація про звук». Ця робота 1727 року починалася словами: «Моєю
кінцевою метою в цій праці було те, що я прагнув представити музику як частину
математики і вивести в належному порядку з правильних підстав все, що може
зробити приємним об'єднанням і змішуванням звуків". Лейбніц в листі
Гольдбаху пише: «Музика є прихована арифметична вправа душі, що не вміє
рахувати". І Гольдбах йому відповідає: "Музика - це прояв прихованої
математики".
Чому ж прихованої? Адже в Стародавній Греції музика прямо
вважалася частиною математики, а ще точніше, розділом теорії чисел. Першим, хто
спробував висловити красу музики за допомогою чисел, був Піфагор - той самий,
чиїм ім'ям названа знаменита теорема. І в XVII столітті французький філософ,
фізик, математик Марен Мерсен в трактаті «Істина наук проти скептиків або
піроніків" також розглядав музику як галузь математики. Піфагор був не
лише математиком і філософом, а й теоретиком музики. Він займався пошуками
музичної гармонії, оскільки вірив у те, що така музика необхідна для очищення
душі і лікування тіла і здатна допомогти розгадати будь-яку таємницю. Одного разу,
проходячи повз кузню, Піфагор випадково почув, як удари молотів створюють
цілком певне співзвуччя, і після цього зайнявся експериментами, намагаючись
знайти співвідношення між висотою тону і числами. За допомогою чаші з водою і
однострунної арфи він вивчив взаємозв'язок між рівнем води і довжиною струни і
виявив, що половина довжини струни піднімає ноту на одну октаву вгору.
Вісім звуків - до, ре, мі, фа, соль, ля, сі, до - найдавніша
музична гама. В наші дні темперована гамма включає в себе дванадцять нот,
включаючи діези і бемолі, але в основі її лежить винахід, за який ми повинні
дякувати Піфагору. Існує припущення, що Піфагорів лад - його гаму - удосконалив
Архит, але і в античній Греції, і в епоху Відродження гаму з восьми звуків
називали Піфагора діатонічною гамою.
Піфагорова теорія музики досягла навіть небес.
Піфагор поділяв уявлення про сферичності світобудови і при цьому першим назвав
Всесвіт «космосом». У ті часи крім Землі, Місяця і Сонця були відомі тільки
Меркурій, Венера, Марс, Юпітер і Сатурн. Але ще Піфагор припустив існування
«анти-Землі» і при цьому виділяв 10 небесних тіл. Зрозуміло, це твердження було
тоді чисто теоретичним: число «10» для нього символізувало гармонію Всесвіту.
Пізніше він захопився ідеєю «музики сфер», прагнучи пов'язати консонантні
(гармонійні) звуки з планетарними сферами. Він виходив з того, що інтервал в
просторі між планетами - той же, що і шкала висоти музичного звуку. Кожна
планета, рухаючись з постійною швидкістю, проходить певну відстань, створюючи
звук. У міру того як відстань планет від центру збільшується, а обертання
планет прискорюється, звук стає вище. Саме так Піфагор уявляв собі музику, яка
звучить по всьому Всесвіті. Про вплив музики на людину з давніх давен було
добре відомо багатьом вченим, однак на зв'язок музики і чисел першим вказав
саме Піфагор. Таким чином Піфагор отримав перший ключ до поняття музичного
інтервалу в діатонічному звукоряді. Якщо вдаватися до конкретики, то варто
уточнити яким чином у піфагореїзмі була облаштована «гармонія сфер». Відповідно
до точки зору, яка видається досить імовірною, «в найдавнішому варіанті (у
самого Піфагора) йшлося тільки про три сфери зірок (включаючи планети), а саме
Місяця і Сонця, вони співвідносяться із трьома інтервалами: квартою (3:4), квінтою
(2:3) і октавою (1:2). Таким чином вся музично-математична сутність космосу
сповна вписується у тетрактиди. Відповідно до цього, гармонія сфер – це
пропорція трьох планет і чотирьох чисел 6:8:9:12, що містить у собі всі три
види середніх – геометричне, арифметичне і гармонічне. Загалом, це відкриття
Піфагора подано у «Арифметиці» Нікомаха («найдосконаліша гармонія», τελειοτάτη ἁρμονία,
Arithm. II,29) і Боеція («найдосконаліша гармонія», maxima perfectaque
armonia, Arithm. II, 54)
Піфагор стверджував, що «музика
дуже благотворно діє на здоров'я, якщо займатися нею належним чином». Тому
піфагорійці, «відходячи до сну, очищали розум від денного сум'яття і шуму
певними піснями й особливого роду мелодіями і цим забезпечували собі спокійний
сон з небагатьма і приємними сновидіннями». Одного разу Піфагору вдалося
вгамувати гнів п'яного дебошира юнака просто тим, що він звелів флейтисту
зіграти урочисту мелодію. Тим самим філософ не тільки відкрив цілий ряд
музичних ефектів, але і знайшов їм практичне застосування в навчанні та
медицині.
Акустика та музика: Номери клавішів на роялі є
логарифмами чисел коливань відповідних звуків; номер октави є цілою частиною, а
номер звуку в даній октаві мантисою(дробова частина логарифма за основою 2)
цього логарифма. Наприклад, в тоні sol
третьої октави, в числі 3 + 7/12 (= 3,583), число 3 є характеристикою логарифма
числа коливань цього тону, a 7/12 (= 0,583) - мантиса того ж логарифма при
основі 2; отже, число коливань в 23,583, тобто в 11,98, раз більше числа коливань
тона do першої октави.
Логарифмічна шкала децибел використовується для
вимірювання гучності звуку. Це дозволяє представити широкий діапазон звукових
рівнів, від найтихішого до найгучнішого, в зручній формі. Тип шкали вимірювань
логарифмічних величин, що побудована на основі використання логарифмічного
перетворення. Для побудови логарифмічних шкал зазвичай використовуються системи
десяткових або натуральних логарифмів, а також система логарифмів з основою
два.
Крім того, для
багатьох органів чуття величина відчуття є пропорційною логарифму впливу.
Наприклад, в музиці ноти, що розрізняються за частотою вдвічі, сприймаються як
одна і та ж нота на октаву вище, а
інтервал між нотами у півтону відповідає відношенню їх частот 21/12. Тому нотна
шкала — є логарифмічною з використанням логарифма з основою 2. Крім того,
відповідно до закону Вебера — Фехнера, гучність
звуку на сприйняття також пропорційна логарифму його інтенсивності (зокрема,
логарифму потужності, що випромінюється звуковою колонкою). Тому на амплітудно-частотних
характеристиках звуковідтворюючих
пристроїв застосовують логарифмічний масштаб по обох осях.
Джерела використанні під
час дослідження:
https://www.youtube.com/watch?v=sBhEi4L91Sg&pp=ygURbG9nYXJpdGhtaWMgc2NhbGU%3D
https://math2service.blogspot.com/p/blog-page_12.html
https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D1%86%D0%B8%D0%B1%D0%B5%D0%BB
https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D1%96%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D1%88%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D0%B0
https://naurok.com.ua/rozrobka-uroku-gri-na-temu-logarifmichna-funkciya-osnovni-vlastivosti-logarifmiv-122090.html
https://ppt-online.org/72201
https://buki.com.ua/blogs/logarifm-ta-iogo-zastosuvannya/
Презентація проєкту "Логарифми" Соломії Кривицької заслуговує найвищої оцінки! Молодець!
З геометрії охочих до досліджень виявилось більше.
Тему "Зірчасті многогранники" досліджувала Софія Бойчук.
Многогранники в архітектурі та мистецтві зацікавили Яну Сидор і Катю Вербіцьку. Доповідачі не лише цікаво розповідали про історію вивчення многогранників, про їх види, утворення, про многогранники у мистецтві ( згадали про художника Ешера), архітектурі ( від найдавніших споруд- пірамід -- до сучасних будівель), але й створили модель зірчастого многогранника (Софія Бойчук) і модель єгипетської піраміди Хеопса у масштабі.
Цікавим, насиченим був виступ Соломії Кривицької .Тема її дослідження - многогранники. Учні дізналися про многогранники Кельвіна, про історію вивчення многогранників. А також про загадковий об'єкт у формі многогранника з круглим отворами, який зберігається у музеї Бельгії. За словами Гвідо Крімерса, існує кілька версій призначень цього многогранника: символ влади, пристрій для гри, вимірювальний прилад. Достеменно невідомо,тож є простір для досліджень. А ще у своєму виступі Соломія запропонувала цікаву головоломку, пов'язану із многогранником-додекаедром ( двадцятигранником).
