9 клас. Перетворення координат при симетрії і паралельному перенесенні

 

Перетворення координат при симетрії 

Нехай при виконаному перетворенні точка М(х, у) переходить у точку

 К (х₁; у₁), тобто точка К є образом точки М. Тоді матимемо наступне перетворення координат

точка	Симетрія відносно  осі ОХ	Симетрія відносно  осі ОУ	Симетрія відносно  початку координат	Симетрія відносно  Прямої у=х (бісектриси І і ІІІ коорд. кутів
М(х;у)
К(х1;у1)	К(х;-у)	К(-х;у)	К(-х;-у)	К(у;х)

 

При паралельному перенесенні:

Х₁=х+а

У₁=у+в, де а і в числа.

Задача 1

Запишіть рівняння кола, у яке перейде коло, задане рівнянням  

 (х-3)²+(у+5)²=36

при

1)симетрії відносно осі абсцис;

2) при симетрії відносно осі ординат;

3)при симетрії відносно прямої у=х;

4) при паралельному перенесенні, заданому правилом:

Х₁=х-2

У₁=у+1

Розв'язання

Оскільки при рухах ( а симетрія і паралельне перенесення є рухом) зберігаються відстані, то образи заданого кола матимуть радіус, що дорівнює радіусу даного кола,тобто 6. Зміниться лише розташування центра кола. Центром заданого в умові рівнянням кола є точка Р(3;-5). Отже, нам треба знайти координати образів цієї точки у кожному з випадків. 

Таким чином точка Р(3;-5) перейде в точку :

1) (3;5)

2)(-3;-5)

3)(-5;3)

4)(3-2;-5+1)=(1; -4).

Відповідно матимемо рівняння кіл-образів даного в умові кола:

 1) (х-3)²+(у-5)²=36

2) (х+3)²+(у+5)²=36

3) (х+5)²+(у-3)²=36

4) (х-1)²+(у+4)²=36

Симетрія відносно точки із заданими координатами

Задача 2

 У яку точку перейде точка А(х;у) при симетрії відносно точки М(m;n).

Розв’язання

Нехай точка А(х;у) при симетрії відносно точки М(m;n) переходить у точку

А₁ ( х₁;у₁). Тоді точка М(m;n) є серединою відрізка АМ. Тому

m =(х+ х₁):2

n=(у+ у₁):2.

Звідси маємо, що координати точки А

х₁=2 m-х

у₁=2 n-у.