9 клас. Перетворення координат при симетрії і паралельному перенесенні

 

Перетворення координат при симетрії 

Нехай при виконаному перетворенні точка М(х, у) переходить у точку

 К (х₁; у₁), тобто точка К є образом точки М. Тоді матимемо наступне перетворення координат

точка	Симетрія відносно  осі ОХ	Симетрія відносно  осі ОУ	Симетрія відносно  початку координат	Симетрія відносно  Прямої у=х (бісектриси І і ІІІ коорд. кутів
М(х;у)
К(х1;у1)	К(х;-у)	К(-х;у)	К(-х;-у)	К(у;х)

 

При паралельному перенесенні:

Х₁=х+а

У₁=у+в, де а і в числа.

Задача 1

Запишіть рівняння кола, у яке перейде коло, задане рівнянням  

 (х-3)²+(у+5)²=36

при

1)симетрії відносно осі абсцис;

2) при симетрії відносно осі ординат;

3)при симетрії відносно прямої у=х;

4) при паралельному перенесенні, заданому правилом:

Х₁=х-2

У₁=у+1

Розв'язання

Оскільки при рухах ( а симетрія і паралельне перенесення є рухом) зберігаються відстані, то образи заданого кола матимуть радіус, що дорівнює радіусу даного кола,тобто 6. Зміниться лише розташування центра кола. Центром заданого в умові рівнянням кола є точка Р(3;-5). Отже, нам треба знайти координати образів цієї точки у кожному з випадків. 

Таким чином точка Р(3;-5) перейде в точку :

1) (3;5)

2)(-3;-5)

3)(-5;3)

4)(3-2;-5+1)=(1; -4).

Відповідно матимемо рівняння кіл-образів даного в умові кола:

 1) (х-3)²+(у-5)²=36

2) (х+3)²+(у+5)²=36

3) (х+5)²+(у-3)²=36

4) (х-1)²+(у+4)²=36

Симетрія відносно точки із заданими координатами

Задача 2

 У яку точку перейде точка А(х;у) при симетрії відносно точки М(m;n).

Розв’язання

Нехай точка А(х;у) при симетрії відносно точки М(m;n) переходить у точку

А₁ ( х₁;у₁). Тоді точка М(m;n) є серединою відрізка АМ. Тому

m =(х+ х₁):2

n=(у+ у₁):2.

Звідси маємо, що координати точки А

х₁=2 m-х

у₁=2 n-у.

Василь Кандинський ... і геометрія

 

16 грудня 1866 рокуу Москві народився майбутній художник, основоположник абстракціонізму, теоретик мистецтва Василь Кандинський. Його картини зберігаються у музеях світу, творча спадщина коштує  мільйони доларів.

Родина була заможною, тому мала можливість пождорожувати. Коли Василю виповнилося 9 років, сім'я перебралася в Одесу. Тут хлопчик навчався у гімназії, брав приватні уроки живопису і музики. 

Батьки мріяли, щоб син став юристом. Тому Василь послухав їх і вступив на юридичний факультет Московського університету. Закінчив вуз із відзнакою.

Згодом одружився, займався науковою діяльністю.  Їздив в етнографічну експедицію до Вологодської губернії. Незабаром Василь Кандинський став викладачем , а через три роки отримав запрошення викладати у Дрптському університетів м. Тарту. Йому навть запропонували бути професором. Але Василь Кандинський відмовився і остаточно вирішив займатися живописом. 

Більше про художника читай тут https://uain.press/blogs/vasyl-kandynskyj-kozhen-vytvir-mystetstva-dytya-svogo-chasu-1132547

Кандинський писав імпресіоністичні пейзажі, романтичні фантазії, пізніше – реалістичні полотна. Його абстрактні картини ставали більш “геометричними”: позначався вплив російського авангардизму перших радянських років.

Автобіографічна повість В. Кандинського "Ступени" і  теоретичне дослідження глибинних основ художньої мови.

Для вчителя конспект уроку  тут: 

Застосування подібності трикутників до розв'язування прикладних задач

https://vseosvita.ua/library/zastosuvanna-podibnosti-trikutnikiv-do-rozvazuvanna-prikladnih-zadac-2367.html

Як побудувати графік функції за допомогою перетворень

 Як і обіцяла, розберемо побудову графіка складнішої функції за допомогою перетворень графіка елементарної функції.

Щоб збільшити фото, клікніть на ньому мишкою.

 Результати півфіналу

34 Міжнародного чемпіонату

з розв’язування логічних математичних

задач

Вітаємо переможців півфіналу 34 Міжнародного чемпіонату

з розв’язування логічних математичних

задач

Романа Лещука (8-В клас) і Артема Костюка (9-А).

Попереду- Національний фінал . 

 Увага! 

До 25 грудня 2020 року триває заочний етап чвертьфіналу 35 Міжнародного чемпіонату з розв’язування логічних математичних задач.

 (Прохання до учасників подати розв'язані завдання у зошитах Г.М. Дудар до 19 грудня 2020).

Результати онлайн-олімпіади з математики "НАурок". Осінь -2020

 Ну от і закінчилася осіння сесія онлайн -олімпіади з математики "Наурок" .  У ній взяли участь 31 учасник. Повідомляю результати по класах. Вітаю усіх , хто приєднався до цих змагань. Молодці!

6-Г клас

7-В клас

8-В клас

9-А клас

Скоро, скоро Новий рік або Загадкові розваги з числом 2021!

Ще місяць - і на зміну 2020 рокові прийде Новий 2021! Не встигнете і озирнутися - а він уже на порозі!

2021 - цікаве число. Чим? 

Давайте разом з'ясуємо. Отож, досьє нашого загадкового числа.

1.Непарне.

2. Складене. Дільників має небагато - всього лише чотири:1, 43, 47 і 2021. Серед них два прості - 43 і 47.

3. Розклад на прості множники має вигляд 2021=43*47.

4. Сума цифр числа 2021 теж просте число :

2+0+2+1=5.

5. Добуток цифр дорівнює 0. 

2*0*2*1=0.

6. Число, записане тими ж цифрами але у зворотньому порядку 1202 - парне, і теж має лише 2 прості дільники 2 і 601.

Сторінка з "Книги абака" Фібоначі

7. У 1202 році світ побачила "Книга абака" пізанця Леонардо Пізанського (Італія), прозваного Фібоначі, завдяки якій європеці дізналися про арабські цифри.

Леонардо Пізанський

 А що ж приготував нам рік 2021? Побачимо!

Пропоную вам розважитися - пограти гру під кодовою назвою "2021".  Гра ця буде корисною, адже спонукає вас думати, робити швидкі усні розрахунки, що є дуже корисним. Підійде для будь-якого віку, тож можна погратися з друзями, з молодшими і старшими братами чи сестрами, з батьками, однокласниками на перерві.

Отже, маємо чарівне число 2021.

І раунд. Утворюємо з числа 2021 послідовно числа, переміщуючи першу цифру в кінець. Отримуємо стовпчик чисел:

2021

0212

2120

1202.

"Розсуваємо" цифри, які утворюють кожне число і після першої цифри ставимо знак "=".

Ви, напевно, вже здогадалися, що чекає на вас далі. 

2=0    2    1

0= 2    1    2

2=1    2    0

1=2    0    2.

Між цифрами потрібно розставити дужки ( або без них), знаки арифметичних дій, виконавши які, ви отримаєте числа у лівому стовпчику. Головна умова-порядок цифр зберігається!

Наприклад, так:

2=0+2:1

0=2:1-2

2=1*2+0

1=2:(0+2).

 А які ваші варіанти?

ІІ раунд.

У цьому раунді кожну з цифр прийдешнього Нового Року потрібно записати усіма цифрами числа 2021, не переставляючи, а лише , як у попередньому раунді, розставивши дужки, дії.

2=2    0    2    1

0=2    0    2    1

2=2    0    2    1

1=2    0    2    1

Увага! Цифра 2 з лівого стовпчика повинна 1 і 3 рядках мати різний запис! Для прикладу:

2=2*0+2:1

0=2+(0-2)*1

2=(2+0):(2-1)

1=2*0+2-1.

Якщо ви знайомі з від'ємними числами, то, звісно, грати стає веселіше., адже можна використати правила дій з від'ємними числами! Адже знаки дії "-" можна поставити перед будь-якою з цифр, які стоять у правій частині запису! 

Для старшокласників можу запропонувати використати ще й інші операції, наприклад , добування кореня, піднесення до степеня, факторіал.

Наприклад, число 2 можна отримати, добувши корінь квадратний з виразу (2+0)*2:1 тощо.

6 клас. Дії із дробами. Завдання для самостійного розв'язання

 Вправи і задачі на всі дії із дробами. 

Вказівки-поради

При виконанні вправ на всі діїї (обчислення значення числового виразу) виконай такі кроки:

1.Визнач порядок дій.

2.Перетвори десяткові дроби у звичайні або звичайні дроби у десяткові., мішані числа у неправильні дроби(якщо вони є компонентами дій множення або ділення).

3) виконай дії за порядком.

4)Отриманий результат запиши у вигляді нескоротного дробу, мішаного числа чи у вигляді десяткового дробу.

 Задачі 1183, 1184 розв'яжи з допомогою рівняння.

Пам'ятай, що б знайти відстань, треба швидкість помножити на час!

Розв'язання складніших задач

№1219

1)3/11 від 440=3/11*440=120(стор.)- прочитав за І день;

2)440-120=320(стор.) - залишилося (решта)

3)5/8 від 320= 20 ( стор.)- прочитав ІІ дня;

4) 320-20 =300 (стор.) - прочитав ІІІ і ІV дня.

5)Нехай за 4-й день учень прочитав х стор., тоді за 3-й день 3х стор. Складемо рівняння:

х+3х=300

4х=300;

х=300:4;

х=75.

Отже , за 4-й день учень прочитав 75 сторінок, а за 3-й день 300-75= 225 сторінок ( або 75*3=225).

Відповідь 225 сторінок.

Задачі 1203-1206, 1201, 1202 на спільну роботу. 

Пам'ятай, що весь обсяг роботи ми приймаємо за 1 ( якщо у задачі є відсотки, то за 100 %).

Швидкість виконання роботи (або ж продуктивність, або робота виконанна за одиницю часу) це частка від ділення 1 на час! (дріб 1/t, де t - час виконання всієї роботи).

8 клас. Алгебра. Тотожні перетворення раціональних виразів. Готуємось до контрольної

 

Щоб нагадати,  як виконуються тотожні перетворення  раціональних виразів, пропоную переглянути відео а також повторити матеріал теми у підручнику.

Орієнтовні завдання для контрольної роботи

 Для тренування:

Вказівка. При додаванні чи відніманні раціональних дробів:

1)Розкладаємо знаменники на множники;

2)Знаходимо спільний знаменник (він має ділитися на кожен із знаменників);3)знаходимо додаткові множники для кожного дробу, поділивши спільний знаменник на власний знаменник дробу. який входить у вираз;

4)множимо додатковий множник на чисельник свого дробу і виконуємо дії у чисельнику. 5) якщо отриманий дріб скорочується. то виконуємо скорочення.

 Вказівка. У №№872-876, 879 спочатку розкласти на множники чисельник і знаменник способом винесення за дужки спільного множника, за формулами скороченого множення, а після цього скоротити на спільний множник.

 №880, 881 способом групування і виділення квадрата двочлена. Спробуйте!

7 клас. Геометрія. Рівнобедрений трикутник. Властивості і ознаки

  За цією майндкартою можна систематизувати весь матеріал, що стосується рівнобедреного трикутника.

Спробуйте, опрацювавши відповідні параграфи у підручнику, відтворити все те , що ви дізналися про рівнобедрений трикутник, за даною майндкартою. Після виконання письмових і графічних вправ відтворіть, або намалюйте свою майндкарту чи кластер, аби закріпити свої знання. 

Вітаємо з перемогою!

 Вчора, 1 4 листопада у Тернополі відбувся ІІ етап Всеукраїнської олімпіади школярів з математики. У ній взяли участь троє учасників від нашої школи Лещук Роман, Костюк Артем і Юрій Солоника. Дякуємо вам за те, що представляли нашу школу! Ви молодці! Ви- найкращі! Адже ті люди, хто знає математику, особливі.  І зовсім не  важливо, чи ви здобули перемогу сьогодні чи ні, головне- ви випробували себе, ви гарно попрацювали. Якщо сьогодні ви не серед перших, то це не програш, не поразка а   лише стимул до ще більшої праці задля досягнення мети. Адже все наше життя складається з маленьких і перемог, і поразок - таких собі вершин, які ми долаємо щодня, щоб дійти до мети- свого Олімпу. Ми віримо у вас! Я вірю у вас,і пишаюся вами, дорогі мої діти! 

І разом зі всіма радіємо, що у цьому змаганні  ІІ почесне місце здобув Роман Лещук, програвши лише два бали учасниці, яка посіла перше місце! Вітаємо тебе, Романе! Так тримати!  

А ось задачі, які пропонувалися учасникам

 

Весняні пташки

9 клас. Алгебра. Готуємось до контрольної роботи. Лінійні нерівності. Системи лінійних нерівностей

 Пропоную розв'язати завдання з теми "Лінійні нерівності. Системи лінійних нерівностей".

 У завданнях 4-9 розв'язки подайте у вигляді нерівностей, проміжків і графічних малюнків.

У 9 завданні замість змінної дельта має бути х!

9 клас. Геометрія. Готуємося до контрольної роботи. Розв'язування трикутників

 Щоб підготуватися до контрольної роботи виконайте наступні завдання, звісно, повторивши теоретичний матеріал. 

Формули площі трикутника

Площі чотирикутників

Типові завдання для контрольної роботи

Теорема синусів і теорема косинусів. Інтелект-карта. Прикладні задачі.

 

Галина Дудар

Складаємо інтелект -карту з теми «Теорема синусів. Теорема косинусів. Розв’язування трикутників». Прикладні задачі

Завершуючи тему , що стосується відомих теорем геометрії, а саме, теореми синусів і теореми косинусів, варто навести лад із вивченим матеріалом. У цьому нам допомагають майнд-карт (інтелект -карти), або кластери. Пропоную скласти свою інтелект-карту з опрацьованих тем. Вона допоможе пригадати головне, зорієнтуватися, як застосовувати вивчений матеріал при розв’язування задач. Адже згадані теореми мають величезне значення і широке застосування у математиці, і не тільки в математиці.

 Давайте разом  проведемо невеличку екскурсію у минуле великих теорем.

Починаючи з давніх часів і приблизно до XVII століття у тригонометрії розглядали виключно «розв’язування трикутників», тобто обчислення одних елементів трикутника (або многокутника, розбитого на трикутники) за іншими елементами. Такі обчислення виникали з потреб астрономії, мореплавства, геодезії, архітектури.

Теорема косинусів, по суті, була доведена, звісно, спочатку геометрично, ще у «Началах» Евкліда, а саме у 12-му і 13-му реченнях ІІ книги, у якій узагальнюється теорема Піфагора і виводяться формули , які виражають квадрат сторони, яка лежить проти гострого чи тупого кута трикутника. Це положення, доведене Евклідом, еквівалентне теоремі косинусів

Сучасного вигляду теорема косинусів набуває приблизно у 1801 році у французького математика Лазара Карно (1753-18230). Ж.Л. Лагранж вивів у 1799 році теорему синусів з теореми косинусів. Інший французький математик, О. Коші, виводить теорему косинусів із теореми синусів у своєму «Курсі аналізу» у 1821 році.

Вчені Індії. Як і учені країн ісламу у ІХ-Х століттях, зводили розв’язування будь-яких трикутників до розв’язування прямокутних трикутників. Тому у них не було потреби у теоремі косинусів. Вони її не знали. Цю теорему довів лише в одинадцятому столітті уродженець Хорезму видатний астроном і математик ал-Біруні.

 Разом із співвідношенням

теорема синусів

давала можливість розв’язувати будь-який трикутник. Теоремою синусів користувалися, починаючи з XVI століття, європейські математики.

 ( за матеріалами Г. И. Глейзер . История математики в школе. 7-8 класс. М., Просвещение, 1982).

А тепер розглянемо кілька прикладних задач на застосування теореми синусів та теореми косинусів.▫

Задача 1.

На кришці парового циліндра діаметром 350 мм треба просвердлити 8 отворів для болтів. Знайдіть відстані між центрами отворів, якщо ці центри повинні бути від країв кришки на відстані 50мм.

Розв’язання

1)    АО=ВО=125 мм  (за умовою задачі).

2)    ∟АОВ=360◦ :8=45◦

3)    За теоремою косинусів АВ² =АО²  +ВО² –2АО∙ВО cosАОВ.

4)    АВ² ≈9153 мм² , АВ≈95, 6 мм^2.

Відповідь. 95,6 мм² .

Задача 2

З двох міст А і В  виїжджають одночасно два потяги відповідно за напрямами АD і ВЕ, які перетинаються у місті С під кутом 60◦. Обидва поїзди рухаються рівномірно зі швидкостями відповідно 20 км/год і 30км/год. За скільки годин з моменту їх відправлення відстань між ними буде дорівнювати початковій, якщо АС=50 км, ВС=40 км?

Розв’язання

Нехай t- час який потрібно знайти. Тоді за умовою задачі АD=20t, ВЕ=30t,СD=20t-50, СЕ=30t-40.

З трикутника DЕС за теоремою косинусів : DE² = (20t-50)² + (30t-40)² – (20t-50)(30t-40²⁾  cos60◦.

З трикутника АВС за теоремою косинусів АВ² =50² +40² -2∙50∙40cos60◦=2100.

Враховуючи, що АВ=DE, знаходимо час t. t=3 год.

Відповідь. Через 3 години.

Задача 3

Силу, що дорівнює 23 Н треба розкласти на дві складові, кути яких з напрямом заданої сили дорівнюють відповідно 47◦ і 54◦. Знайти величину кожної із цих сил.

Розв’язання

∟DAC=54◦, ∟СAB=47◦, тому ∟ADC=79◦. Застосуємо теорему синусів до трикутника ADC. Звідси F₁ ≈17 H, F₂ =19 Н.

 Задача 4

Дорога на гору піднімається двома виступами у вигляді ламаної лінії, перший виступ утворює з горизонтом кут 30◦, а другий - 65◦. А пряма , яка з’єднує її з основою гори, нахилена до горизонту під кутом 60◦. Довжина виступу дорівнює 1км. Знайти висоту гори.

Розв’язання

За умовою ∟АОЕ=30◦, ∟DОЕ=60◦, тому ∟DOA=30◦, ∟ODB=30◦.

∟DAC=60◦, тому ∟ADC=25◦ і ∟ADO=5◦.З трикутника OAD за теоремою синусів АD≈5,74 км. З трикутника ACD знаходимо DC= AD∙sin65◦≈5,2 км, СВ=АЕ=0,5ОА≈0,5 м. Висота гори DB≈5,7 км.

Відповідь. 5,7 км

Задача 5

Судно йде точно на схід із швидкістю 12 вузлів. О 13 год 10 хв азимут напряму на маяк дорівнював 70◦, а о 13 год 40 хв він становив 20◦. На якій відстані від судна знаходився маяк під час другого показу? Відомо, що один морський вузол відповідає 1 морській милі за годину.

Розв’язання

Нехай маяк знаходиться у точці М.

Оскільки судно прямує точно на схід, то воно рухається по променю АВ  (кут NAB-гострий). О 13год 10 хв судно знаходилось у точці А (∟NAM=∟NME=70◦).

Якщо о 13год 40хв азимут напряму на маяк становив 20◦, то в цей момент воно знаходилось у точці В (∟NME₁ =20◦).

За 0,5 год судно пройшло відстань АВ, яка дорівнює 6 миль. Нехай ВМ=х. Кут АМВ=50◦, а кут МАВ=20◦.

За теоремою синусів з трикутника АВМ маємо, що х≈ 2,7 морських миль.

Відповідь. 2, 7 морських миль.

Ще кілька цікавих задач для самостійного розв’язання

Задача 6

Залізний стержень довжина якого х см треба зігнути під кутом так, щоб відстань між його кінцями була у см. Де повинна знаходитись  точка згину? За яких умов задача матиме розв’язки?

Задача 7

З гелікоптера , який знаходиться на висоті 1650 м, було помічено колону автівок. Початок колони видно під кутом пониження  70 градусів, а кінець під кутом 65 градусів. Знайдіть довжину колони.

Задача 8

На матеріальну точку діють сили 35 Н і 85 Н під кутом 70 градусів. Знайдіть рівнодійну цих сил і кут, який утворює вона із більшою із даних сил.

Задача 9

Із спостережного пункту помічено літак, який пролітає над вежею. Висота якої 80м. Пряма, яка з’єднує спостережний пункт і верхівку вежі, утворює з горизонтальною площиною кут 25 градусів. На якій висоті пролітає літак?

Задача 10

Три населених пункти А, В, С розміщені так, що дороги які їх з’єднують утворюють трикутник. Відстань між А і В становить 24 км, між В і С – 36 км . Дороги , які ведуть з міста В у міста А і С утворюють кут 60 градусів. Яка відстань між містами А і С? Де потрібно розмістити АЗС, щоб відстань з усіх міст до неї була однаковою?  Результати округлити до сотих.