Результати Першої Математичної інтернет-вікторини для восьмикласників

Переможцем інтернет-вікторини для 8-класників став учень 8-б класу ТЗОШ №19 Діма Швець. Він розв'язав правильно 6 із запропонованих одинадцяти завдань. Тож мої і наші  вітання, 12 балів і приз!
 Молодець!
 Ну, а тепер відповіді до задач.

Відповіді

1. 99 у 20-му степені менше. ніж 9999 у 10 степені. вказівка:9999=99*101. Скориставшись властивостями степеня (а саме, записавши 20-й степінь отриманого добутку як квадрат його у 10-му степені), порівняємо степені із однаковими основами.

2. Шукані числа 6, 25 і 1, 25.

Позначивши одне число через х, а друге через у, складемо систему із рівнянь х-у=5 та х=5у.

3.Відношення площ трикутника і шестикутника дорівнює 4:1.

4. Перша сторінка, що випала, має непарний номер. Отже, номер останньої сторінки, що випала, парний і рівний 314 (єдине парне число. більше 143 і складене з тих же цифр).

У книзі 142 сторінки передують тим, що випали. Тому число сторінок, що випали, дорівнює 314-142=172.

5.Візьмемо з 25голів, підрахованих Королем драконів, 6 голів, що належали йому. Залишиться 19 голів. Усі дракони, що залишилися , не можуть бути двоголовими, бо 19 – непарне число. семиголовий дракон може бути тільки 1. Візьмемо з 19 голів 7 голів цього дракона і одержимо загальну кількість голів, що належать двоголовим драконам. Отже, двоголових драконів (19-7):2=6. 6+1+1=8 драконів.

6. Якщо кількість сторін  виражається непарним числом. починаючи із 7-кутника ( 7, 9, 11...). Кількість діагоналей обчислюється за формулою :

m=п(п-3):2, де п- кількість сторін.

7. Ніколи не настане такий рік, у якому немає хоча б однієї п’ятниці, що приходиться на 13 –те число місяця, щоб переконатися в цьому. досить скласти порядковий перелік 13-тих чисел усіх місяців року із вказівкою дня тижня, починаючи з 13-го січня. Протягом року порядкові номери 13 чисел будуть такими: 1910, 32(32), 61(600, 92(91), 122(121), 153(152), 183(182), 214(213), 245(244), 275(274),3069305), 336(335), де номери в дужках відповідають невисокосному року.. Якщо вважати першим днем тижня 13 січня, то матимемо ряди чисел 1,4,5, 1, 3, 6,1, 4, 7, 2, 5, 7 і у не високосному році: 1, 4, 4, 7, 2, 5, 7, 3, 6, 1, 4. 7. Отже, на 13-ті числа місяців не менше одного разу приходяться всі дні тижня. Так що комбінація «п’ятниця тринадцяте» обов’язково виникне від одного до трьох разів у кожному році.

8. Ані-13, Юркові-6, Тані-5, Галі -15.

9.Горять дві свічки неоднакової довжини і різної товщини. Довша свічка згоряє повністю за 3,5 години, а коротша - за 5 годин. Через дві години одночасного горіння їхні довжини виявились рівними. У скільки разів одна свічка була коротшою від іншої?

За годину горіння згоряє 2/7 першої свічки і 1/5 другої свічки. Через дві години спільного горіння довжина першої свічки становить  4/7 *х, а другої 2/5 * у. За умовою через дві години довжини свічок зрівняються. тобто 4/7*х=1/5* у. Поділимо обидві частини рівняння на у і помножимо на 7/4, матимемо х:у=7:10, тобто  довжина першої свічки становить 0,7 довжини другої свічки.

10. 558, 585, 855.

11. Запустимо годинники одночасно. Через 5 хвилин почнемо відлік часу. Щойно впаде остання піщинка на 7-хвилинному годиннику, перевернемо його і відміряємо ще 7 хвилин.