Теорема синусів і теорема косинусів. Інтелект-карта. Прикладні задачі.

 

Галина Дудар

Складаємо інтелект -карту з теми «Теорема синусів. Теорема косинусів. Розв’язування трикутників». Прикладні задачі

Завершуючи тему , що стосується відомих теорем геометрії, а саме, теореми синусів і теореми косинусів, варто навести лад із вивченим матеріалом. У цьому нам допомагають майнд-карт (інтелект -карти), або кластери. Пропоную скласти свою інтелект-карту з опрацьованих тем. Вона допоможе пригадати головне, зорієнтуватися, як застосовувати вивчений матеріал при розв’язування задач. Адже згадані теореми мають величезне значення і широке застосування у математиці, і не тільки в математиці.

 Давайте разом  проведемо невеличку екскурсію у минуле великих теорем.

Починаючи з давніх часів і приблизно до XVII століття у тригонометрії розглядали виключно «розв’язування трикутників», тобто обчислення одних елементів трикутника (або многокутника, розбитого на трикутники) за іншими елементами. Такі обчислення виникали з потреб астрономії, мореплавства, геодезії, архітектури.

Теорема косинусів, по суті, була доведена, звісно, спочатку геометрично, ще у «Началах» Евкліда, а саме у 12-му і 13-му реченнях ІІ книги, у якій узагальнюється теорема Піфагора і виводяться формули , які виражають квадрат сторони, яка лежить проти гострого чи тупого кута трикутника. Це положення, доведене Евклідом, еквівалентне теоремі косинусів

Сучасного вигляду теорема косинусів набуває приблизно у 1801 році у французького математика Лазара Карно (1753-18230). Ж.Л. Лагранж вивів у 1799 році теорему синусів з теореми косинусів. Інший французький математик, О. Коші, виводить теорему косинусів із теореми синусів у своєму «Курсі аналізу» у 1821 році.

Вчені Індії. Як і учені країн ісламу у ІХ-Х століттях, зводили розв’язування будь-яких трикутників до розв’язування прямокутних трикутників. Тому у них не було потреби у теоремі косинусів. Вони її не знали. Цю теорему довів лише в одинадцятому столітті уродженець Хорезму видатний астроном і математик ал-Біруні.

 Разом із співвідношенням

теорема синусів

давала можливість розв’язувати будь-який трикутник. Теоремою синусів користувалися, починаючи з XVI століття, європейські математики.

 ( за матеріалами Г. И. Глейзер . История математики в школе. 7-8 класс. М., Просвещение, 1982).

А тепер розглянемо кілька прикладних задач на застосування теореми синусів та теореми косинусів.▫

Задача 1.

На кришці парового циліндра діаметром 350 мм треба просвердлити 8 отворів для болтів. Знайдіть відстані між центрами отворів, якщо ці центри повинні бути від країв кришки на відстані 50мм.

Розв’язання

1)    АО=ВО=125 мм  (за умовою задачі).

2)    ∟АОВ=360◦ :8=45◦

3)    За теоремою косинусів АВ² =АО²  +ВО² –2АО∙ВО cosАОВ.

4)    АВ² ≈9153 мм² , АВ≈95, 6 мм^2.

Відповідь. 95,6 мм² .

Задача 2

З двох міст А і В  виїжджають одночасно два потяги відповідно за напрямами АD і ВЕ, які перетинаються у місті С під кутом 60◦. Обидва поїзди рухаються рівномірно зі швидкостями відповідно 20 км/год і 30км/год. За скільки годин з моменту їх відправлення відстань між ними буде дорівнювати початковій, якщо АС=50 км, ВС=40 км?

Розв’язання

Нехай t- час який потрібно знайти. Тоді за умовою задачі АD=20t, ВЕ=30t,СD=20t-50, СЕ=30t-40.

З трикутника DЕС за теоремою косинусів : DE² = (20t-50)² + (30t-40)² – (20t-50)(30t-40²⁾  cos60◦.

З трикутника АВС за теоремою косинусів АВ² =50² +40² -2∙50∙40cos60◦=2100.

Враховуючи, що АВ=DE, знаходимо час t. t=3 год.

Відповідь. Через 3 години.

Задача 3

Силу, що дорівнює 23 Н треба розкласти на дві складові, кути яких з напрямом заданої сили дорівнюють відповідно 47◦ і 54◦. Знайти величину кожної із цих сил.

Розв’язання

∟DAC=54◦, ∟СAB=47◦, тому ∟ADC=79◦. Застосуємо теорему синусів до трикутника ADC. Звідси F₁ ≈17 H, F₂ =19 Н.

 Задача 4

Дорога на гору піднімається двома виступами у вигляді ламаної лінії, перший виступ утворює з горизонтом кут 30◦, а другий - 65◦. А пряма , яка з’єднує її з основою гори, нахилена до горизонту під кутом 60◦. Довжина виступу дорівнює 1км. Знайти висоту гори.

Розв’язання

За умовою ∟АОЕ=30◦, ∟DОЕ=60◦, тому ∟DOA=30◦, ∟ODB=30◦.

∟DAC=60◦, тому ∟ADC=25◦ і ∟ADO=5◦.З трикутника OAD за теоремою синусів АD≈5,74 км. З трикутника ACD знаходимо DC= AD∙sin65◦≈5,2 км, СВ=АЕ=0,5ОА≈0,5 м. Висота гори DB≈5,7 км.

Відповідь. 5,7 км

Задача 5

Судно йде точно на схід із швидкістю 12 вузлів. О 13 год 10 хв азимут напряму на маяк дорівнював 70◦, а о 13 год 40 хв він становив 20◦. На якій відстані від судна знаходився маяк під час другого показу? Відомо, що один морський вузол відповідає 1 морській милі за годину.

Розв’язання

Нехай маяк знаходиться у точці М.

Оскільки судно прямує точно на схід, то воно рухається по променю АВ  (кут NAB-гострий). О 13год 10 хв судно знаходилось у точці А (∟NAM=∟NME=70◦).

Якщо о 13год 40хв азимут напряму на маяк становив 20◦, то в цей момент воно знаходилось у точці В (∟NME₁ =20◦).

За 0,5 год судно пройшло відстань АВ, яка дорівнює 6 миль. Нехай ВМ=х. Кут АМВ=50◦, а кут МАВ=20◦.

За теоремою синусів з трикутника АВМ маємо, що х≈ 2,7 морських миль.

Відповідь. 2, 7 морських миль.

Ще кілька цікавих задач для самостійного розв’язання

Задача 6

Залізний стержень довжина якого х см треба зігнути під кутом так, щоб відстань між його кінцями була у см. Де повинна знаходитись  точка згину? За яких умов задача матиме розв’язки?

Задача 7

З гелікоптера , який знаходиться на висоті 1650 м, було помічено колону автівок. Початок колони видно під кутом пониження  70 градусів, а кінець під кутом 65 градусів. Знайдіть довжину колони.

Задача 8

На матеріальну точку діють сили 35 Н і 85 Н під кутом 70 градусів. Знайдіть рівнодійну цих сил і кут, який утворює вона із більшою із даних сил.

Задача 9

Із спостережного пункту помічено літак, який пролітає над вежею. Висота якої 80м. Пряма, яка з’єднує спостережний пункт і верхівку вежі, утворює з горизонтальною площиною кут 25 градусів. На якій висоті пролітає літак?

Задача 10

Три населених пункти А, В, С розміщені так, що дороги які їх з’єднують утворюють трикутник. Відстань між А і В становить 24 км, між В і С – 36 км . Дороги , які ведуть з міста В у міста А і С утворюють кут 60 градусів. Яка відстань між містами А і С? Де потрібно розмістити АЗС, щоб відстань з усіх міст до неї була однаковою?  Результати округлити до сотих.

Півфінал 34 міжнародного чемпіонату з розв'язування логічних задач

 Нарешті дочекалися півфіналу 34 Міжнародного чемпіонату з розв'язування логічних задач! Він мав відбутися ще у травні, але у зв'язку із пандемією був відтермінований. І от прийшла звістка про те, що півфінал буде. 

Усе відбулося за правилами. Нас небагато - 7 учасників із ТЗОШ №19. Працювали у школі. Вдома стіни помагають. Задачі були цікаві, різної складності. Як справились, покаже перевірка робіт строгими суддями. Роботи надіслані у Центральний оргкомітет. Залишилося чекати результатів. А попереду - наступний 35-й чемпіонат. Зовсім скоро. То ж готуємося - і до чемпіонату, і до олімпіад. Відпочивати нема коли.

 Пишюся вами, діти. Ви молодці! Так тримати!

  

Основна властивість дробу. Скорочення дробу. Зведення дробу до спільного знаменника. Порівняння дробів

 Для тих, хто не був на уроці, хто хоче повторити тему , ці відео-уроки. 

1.Основна властивість дробу

2.Скорочення дробу

3. Зведення дробів до спільного знаменника. Порівняння дробів

Перш ніж виконувати домашнє завдання, перегляньте відео, так ви освіжите у пам'яті те, про що йшлося на уроці. Потім прочитайте матеріал теми у підручнику, вивчіть правила ( бо правила - це алгоритми, за яким виконується та чи інша дія у математиці і не тільки), і лише тоді приступайте до виконання вправ. 

2.

3.

1. 

Як розв'язати складніші вправи?